Recordar:

Numero pi: Este numero es de gran importancia es las ciencias de todo tipo, y por lo tanto en la tecnología y en todos los campos donde se aplique la matemática.  Su valor, como el lector sabrá, es 3.1415926... y se extiende por muchísimos decimales (tantos que todavía no se pudo encontrar su fin, o su repetición, y van varios millones de decimales encontrados).

Longitud de una circunferencia:  2.(pi).r, donde `r´ es el radio del círculo.
Situación:

Trataremos de hallar pi de una manera geométrica e interesante.

Para empezar, dibujaremos una semi-circunferencia de radio R, o lo que es lo mismo, de diámetro 2R (Recuerde que el diámetro vale el doble que el radio).
 
Calculamos la longitud (L) de la curva, y nos da que es igual a la mitad la del perímetro del círculo con radio R:

Ahora lo que hacemos es dividir el segmento 2R (el fragmento de recta en el eje X, entre el punto 0 y 2R) en dos partes iguales (En azul en el dibujo).  Y en un paso posterior, hacemos lo mismo, dividiéndolo en 3 partes, que se muestra en color rojo:

Nótese como las curvas, a medida que se aumenta el numero de intervalos, se acerca mas al eje X.

Calculamos nuevamente la longitud de las curvas desde el 0 al punto 2R.

En el caso en que dividimos el segmento en 2 partes (representación azul), cada semicírculo tiene una longitud dada por su radio R/2 (Note que el diámetro de cada semicírculo es R).  Esta longitud entonces será:
 

Pero como el otro fragmento de curva es idéntico a este, decimos que la longitud total es 2 veces la del primero (Sumamos dos longitudes iguales):
 

Por otro lado, si dividimos el segmento en 3 partes (representación en rojo), nos quedaría algo parecido.  Todas los fragmentos que conforman la curva (cada medio circulo) son iguales. Cada uno tiene un diámetro 2R/3, o lo que es lo mismo, un radio R/3.  Calculamos una longitud y multiplicamos por 3 para obtener la total:
 

Nótese que podemos suponer una fórmula general para la longitud total, viendo estos resultados:

Donde n es la cantidad de intervalos que hagamos en el segmento de 0 a 2R.