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Conceptos básicos de estadística

Autor: Mario Blacutt Mendoza
Curso:
4/10 (1 opinión) |350 alumnos|Fecha publicación: 16/05/2011
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Capítulo 11:

 Probabilidad en varios eventos

La condiciones del anterior capítulo se representan de la siguiente manera:

P(4,5,6 o más) = P(4) + P(5) + P(6 o más)

                        = 0.5 + 0.10 + 0.05 = 0.30

Ahora ingresamos a una situación que puede darse en muchas oportunidades.

Supongamos que deseamos obtener un diez o un trébol de un mazo de 52 cartas; en este caso, debemos tener en cuenta que también podemos sacar un “diez de trébol”.

Nos damos cuenta que sacar un diez o trébol no son eventos mutuamente excluyentes, debido a que hay la probabilidad conjunta de un diez y un trébol al mismo tiempo.

Debemos ajustar la ecuación para evitar el conteo doble, es decir, hay que reducir la probabilidad de obtener ambos eventos juntos cuando deseamos saber la probabilidad de  un as o un corazón.

De este modo tendremos: P(diez) + P(trébol) – P(diez y trébol)

4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13

Otro ejemplo; los empleados de la empresa han elegido a 5 de ellos para que los representen en el consejo de administración; los perfiles de los elegidos son:

Hombre, edad 30

Hombre           32

Mujer               45

Mujer               20

Hombre           40        

Una vez elegidos, los cinco deciden, a su vez, elegir un portavoz

¿Cuál será la probabilidad de que la persona elegida sea mujer o tenga una edad por encima de 35 años?

P(mujer o mayor a 35) = P(mujer) + P(mayor a 35) – P(mujer y mayor a 35) = 2/5 + 2/5 – 1/5 = 3/5 = 0.60

Probabilidad bajo condiciones de independencia estadística

En primer lugar, definiremos el concepto de “Independencia”

Dos eventos serán estadísticamente independientes entre sí cuando el evento o resultado de uno de ellos no tiene influencia en el resultado o evento del otro.

Existen tres tipos de probabilidad independiente: Marginal, Conjunta, Condicional

Probabilidades marginales en condiciones de independencia

Vimos que una probabilidad es marginal o incondicional cuando es la representación simple de un evento; v.g el lanzamiento de una moneda normal tendrá un evento: cara o cruz, con una probabilidad de 0,5 c/u.

No importa cuántas veces lancemos la moneda, la probabilidad de que salga cara o cruz será la misma; cada lanzamiento es único y no tiene influencia sobre el próximo lanzamiento.

Probabilidades conjuntas bajo condiciones de independencia estadística

La probabilidad de dos o más eventos independientes que se presentan juntos es el producto de sus probabilidades marginales.

Usando la simbología aprendida, representamos ese caso de la siguiente manera: P(AB) = P(A) x P(B)

P(AB) =  probabilidad de que ambos eventos se presenten juntos o probabilidad conjunta de A y B

P(A)   =  probabilidad marginal de que se presente el evento A

P(B)  =  probabilidad marginal de que se presente el evento B

Ejemplos

¿Cuál es la probabilidad cruz, cara y cruz, en ese orden, en tres lanzamientos consecutivos de una moneda?

El resultado será: 0.5 x 0.5 x 0.5 = 0.125.

¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz, cruz y cara, en ese orden luego de tres lanzamientos consecutivos? 0.5 x o.5 x 0.5 = 0.125

¿Cuál es la cara de obtener al menos dos caras en 3 lanzamientos consecutivos?

Estamos ante el caso mixto de probabilidad de eventos mutuamente excluyentes, las que son aditivas (la probabilidad de obtener una cara más la probabilidad de obtener otra cara) y un evento independiente.

Para visualizar mejor este proceso, tomemos la tabla 4.2 del texto de Levin y Rubin, en la que se descomponen todas las probabilidades posibles de los eventos que conforman el total del experimento

Denominaremos cara = H; cruz = T

Un lanzamientoDos lanzamientosTres lanzamiento
R. Posibles ProbalilidadR. Posibles ProbabilidadR. Posibles Probabilidad
H1 0,5H1,H2 0.25H1, H2, H3 0.125
T1 0,5H1,T2 0.25H1, H2, T3 0.125
 T1,H2 0.25H1, T2, H3       0.125      
 T1.Y2 0.25H1, T2, T3 0.125
  T1, H3, H3         0.125     
  T1, H2, T3 0.125
  T1, T2, H3 0.125
  T1, T2, T3 0.125
   1000

 

En la parte superior del cuadro se registra los tres lanzamientos de la moneda.

H1 significa “cara” y T1 es igual a “Cruz”

En el primer lanzamiento los posibles resultados son o una cara (H1) o una cruz (T1) y la probabilidad para cada uno de estos resultados, tal como vimos es 0.5.

Tomemos en cuenta que 1 y 2 representan el primer y el segundo lanzamiento, en todos los casos

Cuando lanzamos la moneda por segunda vez, nos trasladamos a la columna “Dos lanzamientos”. Los resultados posibles son: el primer lanzamiento fue cara (H1) y el segundo también (H2)

Vemos que los eventos del segundo lanzamiento están ligados a los eventos que resultaron en el primero.

El segundo evento posible en la columna del segundo lanzamiento es H1, T2, esto asume que en el primer lanzamiento salió una cara (H1) y en el segundo lanzamiento salió una cruz (T”).

El tercer evento muestra que en el primer lanzamiento se obtuvo una cruz (T1) y en el segundo, cara (H2)

El cuarto evento muestra que en el primer lanzamiento salió cruz (T1) y en el segundo, cara (H2)

Las probabilidades en cada caso son 0.25, que resultan de

cara = probabilidad de 0.5

cruz = probabilidad de 0.5

La probabilidad, digamos del primer evento del segundo lanzamiento H1,H2 es 0.5 x 0.5 = 0.25

Lo mismo con las demás probabilidades

En la columna del tercer lanzamiento se anotan, como en las dos anteriores, los respectivos eventos; v.g en el primer lanzamiento se obtuvo una cara (H1) en el segundo también (H2) y en el tercero, una cruz (T3).

La probabilidad de este evento será 0.5 x 0.5 x 0.5 = 0,125

El mismo razonamiento para los siguientes eventos, hasta que agotamos todas las probabilidades posibles de los tres lanzamientos de la moneda.

Ahora ya podemos responder a la pregunta que nos hicimos al iniciar este capítulo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz, cruz y cara, en ese orden luego de tres lanzamientos consecutivos?

La pregunta ya nos hace saber que se trata de un experimento de tres lanzamientos; en nuestra tabla vemos que los eventos que la pregunta exige son: T1, T2, T3 = 0.125

Estos ejercicios nos muestran lo que hace la computadora, en el programa SPSS, cuando le pedimos que calcule las probabilidades de un problema en el que estamos interesados.

Probabilidades condicionales

Hasta ahora vimos dos clases de probabilidad: la probabilidad marginal (o incondicional) y la probabilidad conjunta; la probabilidad marginal se representa por (PA) y la conjunta por P(AB)

La Probabilidad Condicional que analizaremos ahora se representa por P(A/B) que muestra dos eventos:

A, el primer evento y B, el segundo.

De esta manera, la Probabilidad Condicional P(A/B) representa el caso en que el segundo evento B ocurre luego que el primero, A, ya ha tenido lugar.

Es decir, nos dice cuál será la probabilidad del evento B una vez que el evento A ya ocurrió.

Antes de continuar, recordemos que para dos eventos independientes, A y B, la ocurrencia de A nada tiene que ver con el la ocurrencia del evento B.

Así la probabilidad de lograr una cara en un segundo lanzamiento de la moneda, después de que el primer lanzamiento dio como resultado, seguirá siendo 0.5, debido a que ambos eventos son independientes.

A continuación diseñaremos una pequeña ayuda-memoria para eventos estadísticamente independientes.

Vemos allí que la probabilidad marginal, llamada también “incondicional” es (PA)

La probabilidad Conjunta de dos eventos independientes estadísticamente es P(AB) = P(A) x P(B)

La probabilidad condicional P(A/B) es P(B)

 
 

Tipo de Probabilidad            Símbolo              Fórmula

Marginal                                 P(A)                     P(A)

Conjunta                                P(AB)                   P(A) x P(B)

Condicional                            P(A/B)                    P(B)

 

Probabilidad Condicional Bajo Dependencia Estadística

Antes de proponer la definición formal, vayamos a un ejemplo ilustrativo.

Hay una caja que contiene diez bolas de colores distribuidas de la manera siguiente:

Tres bolas son de color y tienen puntos

Una es de color y tiene franjas

Dos son grises y tienen puntos

Cuatro son grises y tienen franjas

Siguiendo a Levin y Rubin, hacemos un pequeño cuadro para visualizar mejor las condiciones del problema

La distribución de las diez bolas

 
 

Evento             Probabilidad del Evento

1                                  0.1

2                                  0.1 (De color y con puntos)

3                                  0,1

4                                  0.1 (De color y con franjas)

5                                  0.1 (Grises y con puntos)

6                                  0.1

7                                  0.1

8                                  0.1 (Grises y con franjas)

9                                  0.1

10                                0.1

 

Como hay diez bolas, la probabilidad de sacar una cualquiera de ella es 1/10 = 0.10

Supongamos que alguien saca una bola de color: ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga puntos?

Simbólicamente, el problema puede representarse como P(D/C), es decir ¿cuál es la probabilidad de que la bola tenga puntos (D) dado que es de color (C)? (Vemos que D representa una bola con puntos, C, de color)

La probabilidad de que la bola que se sacó era de color, queremos saber la probabilidad de que, siendo de color, tenga puntos; para ello, ignoramos las bolas grises, pues no cumplen con ninguna condición dada.

Sólo tomaremos en cuenta las que restan; hay cuatro bolas de color, tres de las cuales tienen puntos y la cuarta tiene franjas; con esa información sólo tenemos que encontrar las probabilidades sencillas.

Es decir, la probabilidad de que la bola tenga puntos y de que tenga franjas; para ello nos damos cuenta que el total de bolas que tienen color son 4 y las que tienen color y puntos son tres.

Por lo tanto, la probabilidad de una bola a color con puntos es = ¾ = 0.75

La probabilidad de color con franjas es = ¼ =0.25; ambas suman 1.

En el próximo capítulo veremos la fórmula general sobre la probabilidad condicional

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