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Breve historia de la Física teórica

Autor: Pompilio Zigrino
Curso:
7/10 (3 opiniones) |2775 alumnos|Fecha publicaciýn: 13/06/2005
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Capýtulo 12:

 Potenciales y lagrangiano

En la mecánica podemos vincular a la energía potencial gravitacional con la fuerza de gravedad mediante la siguiente expresión:

   Fuerza = - grad U = - gU

siendo gU = dU / dx + dU / dy + dU / dz       (derivadas parciales)

Decimos que la fuerza es el gradiente de la energía potencial gravitatoria. Esta igualdad puede comprenderse considerando la existencia de superficies equipotenciales, que serían superficies de igual nivel (como las marcas que deja el agua al sumergir parcialmente a una montaña). El gradiente resulta ser un campo vectorial perpendicular a las superficies de nivel, que en realidad son esferas concéntricas con la Tierra. En cuanto al signo menos, debemos tener presente que al alejarnos de la Tierra, aumenta la energía potencial, mientras que las líneas de fuerza gravitacionales tienen sentido opuesto a ese crecimiento de U.

   Si buscamos la divergencia de dicha fuerza, en una zona en donde no existe distribución de masa, dicha divergencia será nula (ya que en la esfera medidora entran tantas líneas de fuerza como las que salen de ella). Aplicando nuevamente el operador vectorial nabla (g) tendremos:

   div F = g. F = 0        o también        g²U = 0

esta última es la ecuación de Laplace, mientras que si realizamos una evaluación similar en zonas en donde existe una distribución de masa distinta de cero, tendremos:

   g²U = Ø

Esta es la ecuación de Poisson (por Denis Poisson (1781-1840))  

   Para obtener las ecuaciones de Laplace y de Poisson en electrostática, se definió previamente al potencial escalar eléctrico V, de tal manera que:

   E = - gV              g²V = 0            g²V = ro

lo que da lugar a la ecuación de Laplace para zonas en donde no hay cargas eléctricas y a la ecuación de Poisson para lugares con densidad de carga distinta de cero.

   Para obtener algunas ventajas matemáticas posteriores, se definió también al potencial vectorial magnético A, que está vinculado a la densidad de flujo magnético B, de la siguiente forma:

   B = rot A = g x A

Pudo establecerse la anterior igualdad ya que, en la segunda ecuación de Maxwell, al ser div B = 0, puede aplicarse una identidad del cálculo vectorial que indica que la divergencia de un rotor es siempre nula. Al adoptar este potencial vectorial, la intensidad de campo eléctrico quedará:

   E = - gV - dA / dt    (derivada parcial)  

Debido a que el rotor implica derivadas parciales respecto de las coordenadas espaciales x, y, z, si al potencial vectorial le agregamos el gradiente de una función arbitraria, no cambiará el valor de los campos B y E. Esto se debe a que siempre se cumple que rot grad f = 0, cualquiera sea f, luego:

   A = A' + gX                V = V' - (1 / c)   dX / dt  (derivada parcial)

Estas últimas igualdades, que permiten introducir una función arbitraria, se conocen como transformación gauge electromagnética, que es una calibración invariante. Junto a la transformación gauge cuántica habrá de desempeñar un importante papel en la física del siglo XX.

   Para la descrpción de la radiación de ondas electromagnéticas se establece la condición de Lorentz, que vincula ambos potenciales:

   div A  =    - (1 / c²)   dV / dt      (derivada parcial)

Es oportuno destacar que es posible encontrar un lagrangiano de Maxwell, el que, al ser introducido en la ecuación de Euler-Lagrange, permite encontrar las ecuaciones de Maxwell. Debe aclararse que, en el caso de los campos de fuerzas, el lagrangiano es una densidad de energía. La función mencionada es la siguiente:

    L = 1/2  (E² - B²) - (ro) V + J A

A la primera parte la llamaremos Lem (lagrangiano del campo electromagnético), es decir, a 1/2 (E² - B²), y al resto le llamaremos Lint (lagrangiano de la interacción). Tal interacción es la de dicho campo y las fuentes que lo producen (densidad de cargas y corrientes). Esta distinción es importante para aplicaciones posteriores.

   Podemos decir que toda la física clásica (mecánica y electromagnetismo) puede describirse a partir de la ecuación de Euler-Lagrange.

 

 

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