La dinámica de Newton aparece en el siglo XVII, la dinámica de Lagrange es del siglo XVIII, mientras que la tercera formulación de la dinámica se debe a William R. Hamilton (1805-1865) y fue realizada durante el siglo XIX. Las tres descripciones son equivalentes, si bien las formulaciones de Hamilton y de Lagrange se aplicarán fuera del ámbito original en donde fueron planteadas (más precisamente en el mundo atómico y nuclear). 

   Hamilton describe los fenómenos mecánicos considerando dos magnitudes básicas: la cantidad de movimiento (p) y el espacio (x). Las ecuaciones son las siguientes: 

dx / dt = dH / dp         dp / dt = -  dH / dx     siendo    H = T + U

(Las derivadas de H respecto de p y de x son derivadas parciales)

En donde H es la función de Hamilton, o hamiltoniano. T y U son las energías cinética y potencial, respectivamente. A partir de esta formulación pueden reencontrarse las fórmulas de la dinámica newtoniana y de la lagrangiana.

   Cuando se habla de la "mecánica clásica" se hace referencia a la "mecánica de Newton-Lagrange-Hamilton", en la que no se han hecho las "correcciones relativistas" ni las "correcciones cuánticas" que han de caracterizar al desarrollo de la física teórica del siglo XX.

   En 1825, Hamilton descubre una importante analogía entre la óptica y la mecánica. Una de las ecuaciones obtenidas por Hamilton, junto a Carl Jacobi (1804-1851), incluye a la acción S (energía x tiempo) como magnitud física fundamental. Tal ecuación, para el movimiento de una masa en la dirección x, es la siguiente:

(dS / dx)² = 2 m (E - U)

(es una derivada parcial). Mientras que en la óptica se conocía una ecuación similar:

(du / dx)² = n² / c²

(es una derivada parcial), en donde u es una magnitud asociada a una onda transversal, n es el índice de refracción y c la velocidad de propagación de la luz.

   A partir de estas ecuaciones se comprobó que un rayo luminoso resulta ser (desde el punto de vista de la óptica ondulatoria) una trayectoria perpendicular a los frentes de onda esféricos emitidos por una fuente luminosa puntual. Tales frentes de onda son superficies de igual fase. Por otra parte, la trayectoria que describe una partícula que se mueve en el campo gravitacional de la Tierra resulta ser perpendicular a las superficies de igual acción.

   La propagación de los rayos luminosos cumple con el principio del tiempo mínimo establecido por Pierre de Fermat (1601-1665), mientras que el movimiento de una partícula como la mencionada, sigue el principio de mínima acción establecido originalmente por Pierre de Maupertuis (1698-1759) y perfeccionado por varios físicos posteriores.

   A partir de esta analogía se produce una vinculación matemática entre el movimiento en medios continuos (ondas) y el movimiento en medios discontinuos (partículas). Esta analogía, sintetizada a continuación, ha de tener influencia posterior en la física aplicada al átomo y al núcleo atómico, pero esta vez a través de un vínculo concreto entre magnitudes físicas asociadas a ambos tipos de movimiento, lo que se conocerá como la dualidad onda-partícula.

ONDAS LUMINOSAS                  PARTÍCULAS

Rayo luminoso                                Trayectoria

Principio del tiempo mínimo           Principio de mínima acción

Frecuencia                                       Energía

Velocidad de grupo                         Velocidad de la partícula

Fase                                                  Acción

Número de onda                               Cantidad de movimiento

   Ya en el siglo XIX comienza a vislumbrarse una tendencia que es necesario tener presente para seguir el desarrollo histórico de la física. Para comprender los trabajos de Kepler, Galileo o Newton, miramos las fórmulas pensando en los fenómenos, ya que es posible tener una imagen mental bastante cercana a la realidad. El cambio de actitud consiste en imaginar los fenómenos pensando en las fórmulas. La analogía descripta surgió al realizarse un análisis teórico, o matemático, antes que establecer una asociación de imágenes surgidas de los propios fenómenos naturales.