Cuando René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) vinculan el álgebra con la geometría, creando la geometría analítica, no sólo permiten resolver problemas geométricos mediante métodos algebraicos, sino también generalizar conceptos asociados al espacio real para lograr espacios abstractos que, en cierta forma, también son partes del mundo real.

   Una de las relaciones matemáticas más importantes la constituye el teorema de Pitágoras, conocido desde el siglo VI AC (o quizás antes) y al que podemos interpretar como la expresión matemática de la mínima distancia existente entre dos puntos de un plano. Como el plano está descripto mediante dos variables continuas, o dimensiones, dicho teorema implicará:

   ds² = dx² + dy²

En esta expresión aparecen diferenciales, los que pueden interpretarse como longitudes muy pequeñas comparadas con las magnitudes reales del espacio que representan. Podemos generalizar la expresión anterior a tres dimensiones:

   ds² = dx² + dy² + dz²

Este espacio euclideano es el marco en el que se desarrolla la física newtoniana y es el que caracterizó la imagen más profunda que el hombre tenía sobre el mundo físico. El espacio y el tiempo fueron considerados como partes de un marco exterior a la materia y a la radiación con propiedades independientes de éstas. También el espacio y el tiempo fueron considerados como entes totalmente independientes.

   Según la geometría analítica, un punto en el plano puede caracterizarse mediante dos componentes cartesianas (x1, y1), aunque cambiaremos la denominación de las dimensiones espaciales para una generalización posterior y diremos que esas componentes serán (x1, x2). Luego, un punto en el espacio será caracterizado por tres componentes (x1, x2, x3). En todos los casos con la ya mencionada distancia mínima o métrica euclidea.

   Físicamente hablando, no es admisible pensar en un espacio cuyas dimensiones sean mayores a tres, pero en la representación algebraica podemos escribir (x1, x2, x3, x4) y así lograr el primer espacio abstracto: el tetradimensional. También podemos escribir (x1, x2, ....,xn) o también (x1, x2, ....,xn,.......) siendo éste último el espacio abstracto de infinitas dimensiones. En todos los casos hemos supuesto una métrica euclideana (o pitagórica) aunque es posible crear espacios con una métrica, o distancia mínima, distinta a la euclideana. 

   En el siglo XIX, Carl Gauss encuentra una expresión matemática para la distancia mínima sobre una superficie curva:

                     ds² = E dp² + 2 F dp dq + G dq²

esta es una métrica más general que incluye a la euclideana cuando F = 0. Podemos decir que la geometría plana es un caso especial de la geometría curva. Recordemos que sobre la superficie de una esfera la suma de los ángulos interiores de un triángulo no suman 180º, ni la relación entre la circunferencia y su diámetro es 3,1415.., ya que dicha superficie "padece de una incurable curvatura", en la expresión de George Gamow (1904-1968). Posteriormente, Bernhard Riemann (1826-1866) generaliza la métrica no-euclideana y la aplica a espacios curvos n-dimensionales, mientras que David Hilbert (1862-1943) estudia espacios de infinitas dimensiones con métrica euclideana.