El conjunto de ecuaciones vectoriales que permitieron describir la mayor parte de los fenómenos electromagnéticos concoidos, se conoce como las "ecuaciones de Maxwell", y son las siguientes:

(1) div E = ro

(2) div B = 0

(3) rot B = J + dE / dt     (derivada parcial)

(4) rot E = - dB / dt        (derivada parcial)

Así como un vector está caracterizado por tres números (componentes según un sistema de coordenadas), las ecuaciones del cálculo vectorial, utilizado en electromagnetismo, agrupan varias ecuaciones del cálculo diferencial, de ahí que da lugar a nuevas operaciones matemáticas, como las indicadas.

   El cálculo vectorial permite describir a los campos de fuerzas asociando un vector a cada punto del espacio. Por ejemplo, si consideramos el caso de un río que lleva cierto caudal de agua, en cada punto del cauce podemos asociar el vector velocidad y así tendremos un campo vectorial de velocidades.

   Mediante una pequeña rueda exploradora podremos saber si existen torbellinos que tiendan a hacerla girar. El sentido del giro, la velocidad angular y la orientación del eje de la ruedita exploradora constituirán otro campo vectorial que será el rotor del campo de velocidades. Si no se forman torbellinos, caracterizaremos a ese campo de velocidades diciendo que rot v = 0. Cuando se destapa la salida ubicada en el fondo de un recipiente con agua, tendremos un rotor no nulo cuyo vector resultante será coincidente con el centro de la abertura.

   El gradiente de un campo vectorial es la máxima derivada direccional en un punto de la misma. Para comprender su significado consideremos al campo vectorial constituido por la fuerza de gravedad. Además, consideremos una pequeña bolita que es abandonada en la ladera de una montaña. El movimiento de esa bolita exploradora determinará la máxima pendiente. Así, en cada punto de la montaña podremos asociar un vector y tendremos al campo vectorial gradiente.

   Para saber cuántas líneas de fuerza eléctrica parten (o entran) de una carga eléctrica, podemos encerrarla con una esfera imaginaria y así podremos "contar" las líneas mencionadas. Si, con la esfera medidora, encerramos a una carga positiva, la divergencia tendrá un valor distinto de cero, mientras que si encerramos igual cantidad de cargas positivas como negativas, la divergencia será nula. La divergencia se aplica a los campos vectoriales, pero su resultado no es un vector, sino un número (magnitud escalar).

   Respecto de las ecuaciones de Maxwell, podemos interpretarlas de la siguiente manera: la primera indica que las cargas eléctricas (cuya densidad volumétrica se indica en el miembro derecho de la igualdad) producen un campo vectorial eléctrico E, cuyas líneas de fuerza tienen origen y fin. La segunda indica que un campo magnético estático está constituido por líneas de fuerzas cerradas (sin origen ni fin). Estas ecuaciones se justifican mediante el teorema de Gauss (por Carl Gauss (1777-1855) ). La tercera es la ecuación de Ampere-Maxwell e indica que a un campo magnético B lo produce la circulación de una densidad de corriente eléctrica J y también una variación temporal del campo eléctrico E, tal como se vio antes. La cuarta indica que a un campo eléctrico dinámico E lo produce un campo magnético variable B, lo que constituye la ley de inducción electromagnética de Faraday.

   Hendrk Lorentz (1853-1928) agrega a estas ecuaciones una quinta, la que expresa a la fuerza de Lorentz y que se utiliza en la descripción del movimiento de partículas cargadas eléctricamente moviéndose en campos eléctricos y magnéticos.