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Capítulo 13:

 Instrumentos de planificación. Árboles de decisión. Programación lineal

INSTRUMENTOS DE PLANIFICACIÓN.

- Los árboles de decisión.

Los árboles de decisión constituyen un instrumento de gran utilidad para representar secuencialmente y planificar las diversas decisiones alternativas y los posibles estados de la naturaleza. Todo árbol consta de nudos y ramas:

- Los nudos, representan situaciones en las cuales debe tomarse una u otra decisión.
- Las ramas, parten de los nudos y representan posibles estados de naturaleza.

Cuando, se conocen las probabilidades de los diversos estados, éstas se reflejan sobre las ramas, que lo representan. Al final cada camino (sucesión de aristas) se refleja el resultado que correspondería a esa sucesión de decisiones y sucesos. Por convenio los nudos decisionales se les representa con cuadrados, en tanto que a los aleatorios se les representa con círculos.

Cada nudo tiene un valor asociado:

- El valor asociado a un nudo aleatorio es la esperanza matemática (la esperanza no es más que una media aritmética de probabilidades) de los valores situados al final de las ramas que parten de el.

- El valor asociado a un nudo decisional es el mejor de los valores en los que tiene destino las ramas que aparten de el.

La revisión de probabilidades mediante el análisis bayesiano resulta particularmente útil en los árboles de decisión. En muchas ocasiones, la información a priori de la que se dispone resulta insuficiente para tomar una decisión, y el decisor se plantea la posibilidad de incorporar más información.

Las alternativas de acudir a la consecución de mayor información, o no hacerlo, se han de incorporar, evidentemente, al propio árbol, y las probabilidades de los sucesos posteriores a la consecución de la información estarán condicionadas por ellas, es decir, serán probabilidades "a posterior"; probabilidades revisadas. Para revisar estas probabilidades habrá de utilizarse el teorema de bayes.

- La programación lineal.

Se trata de determinar los valores de las variables que optimizan la función objetivo cumpliéndose las restricciones. Formalmente se trata de:

Maximizar o minimizar

Z= C1X1+ C2X2+C3X3+..........CN+XN

Con sometimiento a las restricciones expresadas en forma de ecuación, y siempre, la condición de no negatividad de las variables. En este caso se ha supuesto que las restricciones tienen el sentido "menor o igual", pero algunas o todas ellas podrían tener el sentido de mayor o igual o tenerse que cumplimentar con igualdades.

Se trata, por lo tanto, de un problema de óptimo condicionado: ha de encontrarse la combinación de valores que maximiza o beneficia la función objetivo. Sin embargo, por ser funciones lineales, para resolver el problema no se pueden utilizar los procedimientos clásicos de cálculo de máximos y mínimos condicionados.

Para ello se han desarrollado diversos algoritmos de resolución para optimizar programas lineales, que no serán objeto de estudio ahora. Para resolver gráficamente el problema de programación lineal han de seguir los siguientes pasos:

1. Representar las ecuaciones que se obtienen al establecer las restricciones como si fueran igualdades y solo en el primer cuadrante, pues las variables no pueden ser negativas.

2. Representar la función objetivo tomando un valor arbitrario cualquiera para Z.

3. Trazar paralelas, a esta ultima recta, tan alejadas como sea posible del origen de coordenadas, hasta determinar la más alejada que tenga algún punto perteneciente a la región de las soluciones posibles, es decir, a la formada por aquellos puntos que cumplan las restricciones. Si el problema fuera de minimización, se irían trazando paralelas lo más aproximado posible al origen de coordenadas.

4. Determinar el punto de esa paralela que se encuentra en el área de soluciones posibles. Las coordenadas de este punto son la solución optima, si hubiera varios puntos el problema tendría varias soluciones tantas como puntos.

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